Teorinės fizikos ir astronomijos institutas Teorinės fizikos ir astronomijos institutas
Atsitiktiniai vyksmai
DOKTORANTŪROS STUDIJŲ DALYKO PROGRAMA

Dalyko pavadinimas Mokslo kryptis (šaka)
kodas 		Fakultetas Katedra
Atsitiktiniai vyksmai Fiziniai mokslai,
Fizika, 02P 		VU TFAI

Studijų būdas Kreditų skaičius Studijų būdas Kreditų skaičius
Paskaitos 1 Konsultacijos 1
Individualus 2 Seminarai 1

Dalyko anotacija:
  1. Atsitiktiniai įvykiai. Atsitiktiniai įvykiai ir veiksmai su atsitiktiniais įvykiais. Tikimybių teorijos aksiomų sistema. Sąlyginė tikimybė. Bayes'o teorema. Nepriklausomi įvykiai.
  2. Atsitiktiniai dydžiai. Atsitiktinio dydžio sąvoka. Pasiskirstymo funkcija. Diskretiniai ir tolydieji atsitiktiniai dydžiai. Atsitiktinių dydžių funkcijos. Daugiamačiai atsitiktiniai dydžiai. Atsitiktinio dydžio komponenčių pasiskirstymai. Sąlyginiai pasiskirstymai. Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai. Daugiamačių atsitiktinių dydžių funkcijos. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo parametrai. Vidurkis. Momentai. Daugiamačio atsitiktinio dydžio momentai. Charakteringosios ir generuojančiosios funkcijos. Charakteringųjų funkcijų savybės. Charakteringosios funkcijos ir momentai. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos charakteringoji funkcija. Pasiskirstymo funkcijos radimas pagal charakteringąją funkciją. Daugiamačio dydžio charakteringoji funkcija. Generuojančiosios funkcijos. Ribinės teoremos. Konvergavimas pagal tikimybę. Bernulio didžiųjų skaičių dėsnis. Pasiskirstymo funkcijų sekos konvergavimas. Stiltjeso integralas. Lokalinė ribinė teorema. Puasono, Čebyšovo ir Chinčino didžiųjų skaičių dėsniai. Sustiprintas didžiųjų skaičių dėsnis. Daugiamačiai ribiniai pasiskirstymai. Ribinės teoremos atsitiktinių dydžių racionalinėms funkcijoms. Markovo grandinės. Homogeninės Markovo grandinės. Perėjimo matrica. Ergodinė teorema. Homogeninę Markovo grandinę sudarantieji atsitiktiniai dydžiai.
  3. Atsitiktiniai vyksmai. Atsitiktinių vyksmų sąvoka. Markovo vyksmai ir nepriklausomų pokyčių vyksmai. Puasono vyksmai. Grynai trūkūs ir grynai tolydiniai vyksmai. Nepriklausomų pokyčių normaliniai vyksmai. Nusistovėję vyksmai. Koreliacinės funkcijos. Periodogramos. Spektriniai tankiai. Lanževeno lygtis. Brauno judėjimas.
  4. Triukšmai ir fliuktuacijos. Baltasis, šratinis, šiluminis ir kiti triukšmai. Triukšmų modeliavimas kompiuteriu. Ilgos atminties vyksmai. 1/f triukšmo problema.
  5. Spektrinių linijų kontūrai. Natūralusis linijos plotis. Doplerio išplitimas. Smūginis ir statistinis linijos plotis. Lėkio išplitimas. Išplitimas dėl sugerties įsotinimo. Šiluminis spektrinės linijos kontūras.
  6. Furjė analizė. Vyksmo galingumo spektrinis tankis. Relaksacijų trukmė ir jos atsiskleidimas koreliacijose ir galingumo spektruose. Bangelių (wavelet) metodas. Bangelių transformacija. Skleidimas Haar’o bangelėmis. Taškiniai vyksmai. Jų pavyzdžiai ir apibendrinimai.. Taškinių vyksmų teorija ir modeliai. Erdviniai taškiniai vyksmai. Nusistovėjusieji taškiniai vyksmai.
  7. Stochastinis integralas. Apibrėžimai. Pavyzdžiai. Ito stochastinio integralo savybes. Stratonovičiaus integralas.
  8. Stochastinės diferencialinės lygtys. Ito stochastinė diferencialinė lygtis. Stratonovičiaus stochastinė diferencialinė lygtis. Stochastinių diferencialinių lygčių ryšys su Fokerio ir Planko lygtimi. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys. Daugelio kintamųjų diferencialinių lygčių sistemos. Stochastinių diferencialinių lygčių sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas. Sprendimo pavyzdžiai. Lanževeno lygtis.
  9. Fokerio ir Planko lygtis. Fokerio ir Planko lygties sprendimas. Atvirkštinė Fokerio ir Planko lygtis. Nusistovėjusieji sprendiniai. Detalusis balansas. Jo pasekmės. Tikrinių funkcijų metodas. Homogeniniai vyksmai. Pavyzdžiai. Artutiniai difuzinių lygčių sprendimo metodai. Difuzija energijos ašyje. Difuzinė atomų jonizacija.
  10. 1/f fliuktuacijų ir triukšmų modeliai. Plataus relaksacijos laikų spektro (McWhorter) modelis. Fraktalinis Brauno judėjimas. Taškiniai vyksmai. Brauno judėjimas laiko ašyje. 1/f triukšmas, sąlygotas signalo impulsų klasterizacijos.

Pagrindinė literatūra:
  1. M. Fišas, Tikimybių teorija ir matematinė statistika, V. Mintis, 1968.
  2. W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its applications (V. I, II, rus., T.2 M. Mir, 1984).
  3. C. W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and Natural Sciences (Berlin: Springer, 1983; rus. M. Mir, 1986; Second Ed., 1996).
  4. V. Mackevičius, Stochastinė analizė (vadovėlis magistrantams ir doktorantams). VU 2002.
  5. N. Kligienė, Įvadas į atsitiktinių sekų statistinę analizę: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams Vilnius: Technika, 1998 (Vilnius: Matrica).
  6. H. Risken, TheFokker-Planck Equation. Methods of Solution and Applications (Berlin: Springer, 1996).
  7. N. G. van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry (North-Holland, 1984; rus. M. Visšaja škola, 1990).
  8. D. R. Cox and V. Isham, Point Processes, (Chapman and Hall, 1980).
  9. M. P. Priestley, Spectral Estimation and Time Series (San Diego: Academic press, 1989).
  10. M. P. Priestley, Spectral Analysis and Time Series (Vol. 1, 2, 1981).
  11. Ю.И.Грибанов, В.П.Мальков, Спектральный анализ случайпых процесов (М. “Энергия”, 1979).
  12. С.Л.Марпл-мл., Цифровой спектральный анализ и его положения (М.”Мир”,1990).
  13. А.К.Нарышкин, А.С.Врагев, Теория низкочастотных шумов (М. “Энергия”, 1977).
  14. М.Букинген, Шумы в электрических приборах и системах (М. “Мир”, 1986).
  15. S. Thurner, S. B. Lowen, M. Feurstein, C. Heneghan, H. G. Feichtinger, and M. C. Teich, Analysis, Synthesis, and Estimation of Fractal-Rate Stochastic Point Processes, Fractals 5, 565-595 (1997).
  16. Probabilty and Random Walks (str. ciklas), Am. J. Phys., v. 67, No 12, p.1216-1278 (Dec. 1999).
  17. N. M. Astaf’eva, Wavelet analysis: basic theory and some applications, Physics-Uspekhi 39 (11) 1085-1108 (1996).
  18. M. Dremin, O. V. Ivanov, V. A. Nechitailo, Wavelets and their uses, Physics-Uspekhi 44 (5) 447-478 (2001).


Konsultuojančiųjų dėstytojų vardas, pavardė Mokslo
Laipsnis 		Pedag.
vardas 		Svarbiausieji darbai mokslo kryptyje (šakoje) paskelbti per pastaruosius 5 metus
Bronislovas Kaulakys Habil.dr. Prof.
  1. Kaulakys B. Autoregressive model of 1/f noise, Phys. Lett. A 257 (1-2) p.37-42 (1999); adap-org/9907008.
  2. Kaulakys B. and Meškauskas T. Models for generation of 1/f noise, Microelectr. Reliab. 40 (11), p.1781-1785 (2000).
  3. Kaulakys B. On the intrinsic origin of 1/f noise, Microelectr. Reliab. 40 (11), p.1787-1790 (2000).



  1. Ruseckas J. and Kaulakys B. Time problem in quantum mechanics and weak measurements, Phys. Lett. A 287 (5-6) p.297-303 (2001); quant-ph/0202156.
  2. Ruseckas J. and Kaulakys B. Weak measurement of arrival time, Phys. Rev. A 66 (5) 052106, 6 pp. (2002).



  1. Gontis V. and Kaulakys B. Multiplicative stochastic sequence of events as a model of power-law noise, In: Noise and Fluctuations, Proc. 17th Intern. Conf., Aug. 18-22, 2003, Prague, p.622-625.


Patvirtinta jungtinėje komisijoje 2003 m. lapkričio mėn. 6 d. , protokolo Nr. 2
Komisijos pirmininkas prof. B. Kaulakys

Pastaba: jei doktorantūros teisė bus suteikta kartu su kita institucija, tvirtinama ne fakulteto taryboje , o jungtinėje komisijoje.
Apie TFAI svetainę
Teorinės fizikos ir astronomijos institutas, Saulėtekio al. 3, 10257 Vilnius, LIETUVA, tel. +370 5 2234636, faks. +370 5 2234637, tfai@tfai.vu.lt